设曲线y=e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线L与x轴y轴所围成的三角形

问题解答题

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线L与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），求S（t）的解析式．

答案

对y=e^-x求导可得

f′（x）=（e^-x）′=-e^-x，

故切线L在点M（t，e^-t）处的斜率为

f′（t）=-e^-t，（3分）

故切线L的方程为

y-e^-t=-e^-t（x-t）．

即

e^-tx+y-e^-t（t+1）=0，（5分）

令y=0可得x=t+1

令x=0可得y=e^-t（t+1），（7分）

所以

S（t）=

(t+1)•e-t(t+1)=

(t+1)2e-t（t≥0）．（10分）