参考答案：(1)付款人Y银行第一次拒付时，其拒付理由不完全正确。第一，该银行承兑汇票背书不连续，第一被背书人与第二背书人不一致，该理由是成立的。背书不连续是票据债务人进行抗辩的理由之一，背书连续主要考虑的是背书形式上的连续。背书的绝对记载事项有两个，即背书人签章和被背书人名称，前后背书中背书人与被背书人的名称应当依次衔接，前一次背书中被背书人是下一次背书中的背书人。第二，甲公司未在该银行承兑汇票上加盖单位的财务专用章，而加盖单位的公章，该抗辩理由不能成立。因为单位在票据上的签章，为该单位的财务专用章或者公章加其法定代表人或其授权代理人的签名或者盖章。第三，该汇票未填写承兑汇票协议编号和交易合同号，该拒付理由不成立。因为该事项不是汇票的绝对记载事项，未做记载，不影响票据的效力。第四，A公司存入本行的资金不足，该抗辩理由也不成立。《票据法》规定，票据债务人不得以自己与出票人之间的抗辩事由对抗持票人。(2)甲公司被拒绝付款后，能够行使追索权。因为该汇票为定日付款的银行承兑汇票，甲公司已经按照《票据法》的规定，在该汇票到期日后10日内委托x银行向付款人Y银行提示付款，但被Y银行拒绝，并且Y银行向甲公司出具了拒绝付款的证明。说明甲公司已经合法的行使了付款请求权，具备了进行追索的实质要件，取得拒付证明后又具备了进行追索的形式要件。如果行使追索权，被追索的对象包括出票人A公司、承兑人Y银行和甲公司之前的所有背书人。甲公司可以不按照汇票债务人的先后顺序，对上述被迫索对象当中的一人、数人或者全体进行追索。并应当在接到拒绝证明的3日内向其确定的被追索对象发出追索通知。如果超过3日发出追索通知，虽然不影响甲公司对追索对象的追索权，但是由于其没有按照规定期限通知汇票当事人，由此给其前手或者出票人造成损失的，应当以该汇票金额为限对该损失承担赔偿责任。甲公司向追索对象请求清偿的金额包括：①被拒绝付款的汇票金额；②汇票金额自到期日或者提示付款日起至清偿日止，按照中国人民银行规定的同档次流动资金贷款利率计算的利息；③取得有关拒绝证明和发出通知书的费用。(3)如果甲公司在委托x银行提示付款前，将该汇票背书转让给乙公司，根据《票据法》的规定，背书人在票据上记载“不得转让”字样，其后手再背书转让的，原背书人对后手的被背书人不承担保证责任。即甲公司的背书人对乙公司不承担票据责任。(4)如果甲公司在被Y银行拒绝付款后，将该汇票背书转让给乙公司，根据《票据法》的规定，被拒绝付款的汇票禁止背书转让，背书人以背书将该种票据进行转让的，应该承担票据责任。因此，甲公司应当对乙公司承担该汇票的责任。