某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可

问题解答题

某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)=

n(n+1)(2n-1)吨，但如果产量超过96吨，将会给环境造成危害．
（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a万元的环保税，已知每吨产品售价0.6万元，第n个月的工人工资为g(n)=

n2-

n-1万元，若每月都赢利，求出a的范围．

答案

（1）第n个月的月产量=

f(1)，n=1

f(n)-f(n-1)，n∈N，n≥2

．（3分）

∵f(n)=

n(n+1)(2n-1)，∴f(1)=1，当n≥2时，f(n-1)=

(n-1)n(2n-3)，

∴f（n）-f（n-1）=3n²-2n．（6分）

令f(n)-f(n-1)≤96，即3n2-2n-96≤0，解得：-

≤n≤6，

∵n∈N，∴n_max=6．（9分）

（2）若每月都赢利，

则

(3n2-2n)-a-g(n)＞0，n∈N，n≤6恒成立．

即a＜

(n-2)2+

，n=1，2，3，4，5，6，恒成立，（12分）

令h(n)=

(n-2)2+

，n=1，2，3，4，5，6，∴n=2时h(n)最小，且h(2)=

（14分）

所以0＜a＜

．（16分）