设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵

问题单项选择题

设矩阵A=[a_ij]_3×3满足A^*=A^T，其中A^*为A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵．若a₁₁,a₁₂,a₁₃为3个相等的正数，则a₁₁为[ ]

答案

参考答案：A

解析：[解] 因为A^*=A^T，即
[*]
由此可知 a_ij=A_ij,[*]=1，2，3．
那么[*]
再由A^*=A^T，两边取行列式并利用|A^*|=|A|^n-1，|A^T|=|A|
得到|A|²=|A|[*]|A|(|A-1)=0
比较①，②得|A|=1即[*]
类似地，由AA^*=A^*A=|A|E，因为A^*=A^T，即有AA^T=|A|E两边取行列式有|A|²=|A|³，从而|A|=0或1．亦即②
那么，由[*]就是①