问题
问答题
设函数f(x)在[0，+∞)内二阶可导，且f(0)=f’(0)=0，并当x＞0时满足
xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1-e-x．
求证：当x＞0时
．
答案
参考答案：[分析与证明一] 由泰勒公式得
[*](*)
其中x＞0，0＜ξ＜x．
现只需证：f"(x)＜1(x＞0)．由假设条件有
[*]
因此只需证
[*]
令F(x)=x-(1-e-x)=x+e-x-1，
[*]F(0)=0，F’(x)=1-e-x＞0(x＞0)
[*]F(x)在[0，+∞)单调增加，F(x)＞F(0)=0(x＞0)，
即[*]
于是[*]
最后由(*)式得
[*]
[分析与证明二] 要证[*]，即证
[*](**)
由于 F(0)=0，
F’(x)=x-f’(x)，F’(0)=0，
F"(x)=1-f"(x)，
因此为证(**)式，只需证1-f"(x)＞0(x＞0)，即f"(x)＜1(x＞0)．
现如同前面所证f"(x)＜1(x＞0)，于是F"(x)=1-f"(x)＞0(x＞0)[*]F’(x)在[0，+∞)单调增加[*]F’(x)＞F’(0)=0(x＞0)[*]F(x)在[0，+∞)单调增加[*]F(x)＞F(0)=0(x＞0)，即[*]．
