问题
问答题
设n阶方阵A有特征值λ1，λ2，且λ1≠λ2，ξ1，ξ2分别是属于λ1，λ2的特征向量，试证：ξ1+ξ2不是A的特征向量．
答案
参考答案：若ξ1+ξ2是方阵A的属于特征值λ的特征向量，则有A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)．
由题设，Aξ1=λ1ξ1，Aξ2=λ2ξ2，
于是 A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=λ1ξ1+λ2ξ2，
故得 λ(ξ1+ξ2)=λ1ξ1+λ2ξ2
(λ-λ1)ξ1+(λ-λ2)ξ2=0．
因λ1≠λ2，故ξ1与ξ2线性无关，
所以 λ-λ1=0，λ-λ2=0，
即λ1=λ2，与题设矛盾．
因此ξ1+ξ2不是A的特征向量．
解析：
[分析]： 利用特征值及特征向量的概念并采用反证法证明．