问题
问答题
已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T．问：
(1) a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示
(2) a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示并写出此表示式。
答案
参考答案：向量β能否由α1，α2，α3线性表示，实质上等价于下述方程组有解或无解的问题：Ax=β，其中
从而
相应的增广矩阵为
利用初等行变换，将B化为阶梯形如下
(1) 当b≠2时，r(A)＜r(B)，此时方程组Ax=β无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示．
(2) 当b=2，a≠1时，r(A)=r(B)且r(A)=3，此时方程组Ax=β有唯一解，且相应的行简化阶梯形为
因此该唯一解为x=
因此β可由α1，α2，α3唯一表示为β=-α1+2α2．
当b=2，a=1时，r(A)=r(B)且r(A)=2＜3，此时方程组Ax=β有无穷解，相应的行简化阶梯形为
其导出组的基础解系为(-3，3，1)T，原方程组特解为(-1，2，0)T，则通解为
C(-3，3，1)T+(-1，2，0)T，
其中C为任意常数．此时β可由α1，α2，α3表示为
β=-(3C+1)α1+(3C+2)α2+cα3．
解析：[考点提示] 线性代数方程组解的性质．