已知函数f（x）=x3+x-16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的

问题解答题

已知函数f（x）=x³+x-16．

（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程；

（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

答案

（1）∵f'（x）=（x³+x-16）'=3x²+1，

∴在点（2，-6）处的切线的斜率k=f^′（2）=3×2²+1=13，

∴切线的方程为y=13x-32．

（2）设切点为（x₀，y₀），则直线l的斜率为f'（x₀）=3x₀²+1，

∴直线l的方程为y=（3x₀²+1）（x-x₀）+x₀³+x₀-16．

又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x₀²+1）（-x₀）+x₀³+x₀-16，

整理，得x₀³=-8，∴x₀=-2，∴y₀=（-2）³+（-2）-16=-26，直线l的斜率k=3×（-2）²+1=13，

∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（-2，-26）．