问题
解答题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin2A+cos（A-C）的范围．
答案
（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，
即：sin（A+C）=sinB，
∴sinB=2sinBcosB，
又在△ABC中，sinB≠0，
∴cosB=
，1 2
∵0＜B＜π，
∴B=
；π 3
（Ⅱ）∵B=
，π 3
∴A+C=2π 3
∴2sin2A+cos(A-C)=1-cos2A+cos(2A-
)2π 3
=1-cos2A-
cos2A+1 2
sin2A=1+3 2
sin2A-3 2
cos2A3 2
=1+
sin(2A-3
)，π 3
∵0＜A＜
，-2π 3
＜2A-π 3
＜ππ 3
∴-
＜sin(2A-3 2
)≤1π 3
∴2sin2A+cos（A-C）的范围是(-
，1+1 2
]．3