对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），规定：函数h（x）=f(x

问题解答题

对定义域是D_f．D_g的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=

f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dg

f(x)，当x∈Df且x∉Dg

g(x)，当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函数f（x）=

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

答案

（1）h（x）=

x-1

，x∈(-∝，1)∪(1，+∞)

1，x=1

，．

（2）当x≠1时，h（x）=

x-1

=x-1+

x-1

+2，

若x＞1时，则h（x）≥4，其中等号当x=2时成立

若x＜1时，则h（x）≤0，其中等号当x=0时成立

∴函数h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）

（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

则g（x）=f（x+α）=sin2（x+

）+cos2（x+

）=cos2x-sin2x，

于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x-sin2x）=cos4x．

另解令f（x）=1+

sin2x，α=

，

g（x）=f（x+α）=1+

sin2（x+π）=1-

sin2x，

于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（1+

sin2x）（1-

sin2x）=cos4x．