问题
解答题
已知函数f(x)=cosx(
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
（Ⅱ）若f(x0)=
|
答案
（1）由题知：f(x)=
sinxcosx+cos2x-3
=1 2
(2sinxcosx)+3 2
=2cos2x-1 2
sin2x+3 2
cos2x=sin(2x+1 2
)，π 6
所以函数f（x） 的最小正周期为π．…（5分）
因为 x∈[0，
]，∴2x+π 2
∈[π 6
，π 6
]．…（7分）7π 6
故当2x+
=π 6
时，函数f（x）取得最小值为-7π 6
；当2x+1 2
=π 6
时，函数f（x）取得最大值为1，故函数在区间[0，π 2
] 上的最大值为1，最小值为-π 2
．．…（9分）1 2
（Ⅱ）由（1）可知f(x0)=sin(2x0+
)，又因为f(x0)=π 6
，5 13
所以sin(2x0+
)=π 6
，由x0∈[5 13
，π 4
]，得 2x0+π 2
∈[π 6
，2π 3
]，7π 6
从而cos(2x0+
)=-π 6
=-1-sin2(2x0+
)π 6
．…（12分）12 13
所以cos2x0=cos[(2x0+
)-π 6
]=cos(2x0+π 6
)cosπ 6
+sin(2x0+π 6
)sinπ 6 π 6
=-
•12 13
+3 2
•5 13
=1 2
． …（15分）5-12 3 26