问题 解答题
已知向量
a
=(1,1),
b
=(1,0),向量
c
满足
a
c
=0且|
a
|=|
c
|,
b
c
>0.
(I)求向量
c

(Ⅱ)映射f:(x,y)→(x′,y′)=x•
a
+y•
c
,若将(x,y)看作点的坐标,问是否存在直线l,使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上?若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
答案

(1)设

c
=(x,y),由题意可得
a
c
=x+y=0
|
a
|=|
c
|=
x2+y2
=
12+12

解方程组得

x=1
y=-1
x=-1
y=1

经验证当

x=-1
y=1
时不满足
b
c
>0
,当
x=1
y=-1
时满足题意,

c
=(1,-1).

(2)假设直线l存在,∴x

a
+y
c
=(x+y,x-y),∵点(x+y,x-y)在直线l上,

因此直线l的斜率存在且不为零,设其方程为y=kx+b(k≠0),

∴x-y=k(x+y)+b,即(1+k)y=(1-k)x-b,与y=kx+b表示同一直线,

∴b=0,k=-1±

2

故直线l存在,其方程为y=(-1+

2
)x,或y=(-1-
2
)x.

多项选择题
单项选择题