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问题 填空题
设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，
a
∈V，记
a
的象为f(
a
)．若映射f：V→V满足：对所有
a
，
b
∈V及任意实数λ，μ都有f(λ
a
+μ
b
)=λf(
a
)+μf(
b
)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f(
0
)=
0

②对
a
∈V设f(
a
)=2
a
，则f是平面M上的线性变换；
③若
e
是平面M上的单位向量，对
a
∈V设f(
a
)=
a
-
e
，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，
a
，
b
∈V，若
a
，
b
共线，则f(
a
)，f(
b
)也共线．
其中真命题是______（写出所有真命题的序号）
答案

令

a
=
b
=
0
，λ=μ=1，

由题有f（

0
）=2f（
0
）⇒f（
0
）=
0
，故①正确；

由题f（λ

a
+μ
b
）=2（λ
a
+μ
b
），

λf（

a
）+μf（
b
）=2λ
a
+2μ
b
）=2（λ
a
+μ
b
），

即f（λ

a
+μ
b
）=λf（
a
）+μf（
b
），故②正确；

由题f（λ

a
+μ
b
）=λ
a
+μ
b
-
e
，

λf（

a
）+μf（
b
）=λ
a
-
e
+μ
b
-
e
，，

即f（λ

a
+μ
b
≠λf（
a
）+μf（
b
），故③不正确；

由题

b
=λ
a
，f（
0
）=f（
a
-λ
b
）=f（
a
）-λf（
b
）
0
⇒f（
a
）=λf（
b
），

即f（

a
），f（
b
）也共线，故④正确；

故答案为：①②④

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