问题
解答题
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标； （Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆． |
答案
（Ⅰ）设不动点的坐标为P0（x0，y0），
由题意，得
，解得x0=x0=-x0+1 y0=
y01 2
， y0=0，1 2
所以此映射f下不动点为P0(
， 0)．1 2
（Ⅱ）证明：由Pn+1=f（Pn），得
，xn+1=-xn+1 yn+1=
yn1 2
所以xn+1-
=-(xn-1 2
)， yn+1=1 2
yn，1 2
因为x1=2，y1=2，
所以xn-
≠0， yn≠0，1 2
所以
=-1， xn+1- 1 2 xn- 1 2
=yn+1 yn
，1 2
由等比数列定义，得数列{xn-
}(n∈N*）是公比为-1，首项为x1-1 2
=1 2
的等比数列，3 2
所以xn-
=1 2
×(-1)n-1，则xn=3 2
+(-1)n-1×1 2
．3 2
同理yn=2×(
)n-1．1 2
所以Pn(
+(-1)n-1×1 2
， 2×(3 2
)n-1)．1 2
设A(
， 1)，则|APn|=1 2
，(
)2+[1-2×(3 2
)n-1]21 2
因为0＜2×(
)n-1≤2，1 2
所以-1≤1-2×(
)n-1＜1，1 2
所以|APn|≤
＜2．(
)2+13 2
故所有的点Pn（n∈N*）都在以A(
， 1)为圆心，2为半径的圆内，1 2
即点Pn（xn，yn）存在一个半径为2的收敛圆．