如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B（都可视为质点）静止在光滑水平面内的x轴上，它们的位置坐标分别为x=0和x=l．现沿x轴方向加一个力场，该力场只对小球A产生沿x轴正方向大小为F的恒力，以后两小球发生正碰过程时间很短，不计它们碰撞过程的动能损失．
（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是多少？
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），求满足下列条件的L值
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞．
（1）A第一次碰前速度设为v0
动能定理：Fl=
m1 2
-0v 20
A与B碰撞，动量守恒，
则mv0=mvA′+mvB′
根据题意，总能量不损失，
则
mv02=1 2
mvA 2+1 2
mvB 21 2
联立解得vA′=0，vB′=v0=2Fl m
（2）①对质点A：
第一次碰前：v0=at0
l=
at021 2
第一次碰后到第二次碰前过程：
第二次碰前速度 vA1=at1
sA1=
at121 2
对质点B：
第一次碰后到第二次碰前过程：sB1=v0t1
由于sA1=sB2
解得：t1=2t0，vA1=2v0，sA1=sB1=4l
则要使质点A、B刚好能够发生两次碰撞，L=l+4l=5l
②质点A、B第二次碰前速度分别为2v0、v0，碰后速度分别设为v″A和v″B
动量守恒：m•2v0+mv0=mv″A+mv″B
能量关系：
m(2v0)2+1 2
m1 2
=v 20
m1 2
+v″ 2A
m1 2 v″ 2B
解得：v″A=v0，v″B=2v0
对质点A：
第二次碰后到第三次碰前：vA2=v0+at2
sA2=v0t+
at221 2
对质点B：
第二次碰后到第三次碰前：sB2=2v0t2
由于sA2=sB2
解得：t2=2t0，vA2=3v0，sA2=sB2=8l
综上，质点A、B每次碰撞过程总是要交换速度；每次碰撞间隔时间都为2t0；
每次碰撞后的相同时间间隔内，质点A速度增加2v0，质点B速度不变
可得：每次碰撞位置间隔：4l、8l、12l…（n-1）4l
则要使质点A、B刚好能够发生n次碰撞：L=l+4l+8l+12l+…+（n-1）l=（2n2-2n+1）l（n=1，2，3…）
答：（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是vA′=0，vB′=
．2Fl m
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞，L=5l；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞L=（2n2-2n+1）l（n=1，2，3…）．