设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：

问题解答题

设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．

（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；

（2）证明：当f₀（x）∈M时，f₁（x）=f₀（x+t）∈M，这里t为常数；

（3）对于属于M的一个固定值f₀（x），得M₁={f₀（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M₁，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？

答案

（1）证明：假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，

即F（a，b）=acosx+bsinx与F（c，d）=ccosx+dsinx相同，

即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．

特别令x=0，得a=c；

令x=

，得b=d．

这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，

假设不成立．

故不存在两个不同点对应同函数．

（2）当f₀（x）∈M时，

可得常数aa₀，b₀，使f₀（x）=a₀cosx+b₀sinx，

f₁（x）=f₀（x+t）=a₀cos（x+t）+b₀sin（x+t）

=（a₀cost+b₀sint）+（b₀cost-a₀sint）sinx．

由于a₀，b₀，t为常数，

设a₀cost+b₀sint=m，b₀cost-a₀sint=n，

则m，n是常数．

从而f₁（x）=f₀（x+t）∈M．

（3）设f₀（x）∈M，

由此得f₀（x+t）=mcosx+nsinx，

（其中m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint）

在映射F下，f₀（x+t）的原象是（m，n），

则M₁的原象是

{（m，n）|m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint，t∈R}，

消去t得m²+n²=a₀²+b₀²，

即在映射F下，M₁的原象{（m，n）|m²+n²=a₀²+b₀²}是以原点为圆心，

a02+b02

为半径的圆．