问题 计算题

如图所示,倾角37°的斜面上,轻弹簧一端固定在A点,自然状态时另一端位于B点,斜面上方有一半径R=1 m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于D处,圆弧轨道的最高点为M.用质量为m1=6.3 kg的物块将弹簧缓慢压缩至C点,由静止释放后弹簧恢复原长时物块到B点速度恰好减小为零。用同种材料、质量为m2=0.3 kg的另一小物块将弹簧缓慢压缩到C点后由静止释放,物块经过B点后的位移与时间的关系为x=8t-4t2(x单位:m,t单 位:s),若物块经过D点后恰能到达M点,重力加速度g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求:

(1)物块与斜面间的动摩擦因数μ;

(2)BD间的距离lBD;

(3)m2从被释放至运动到M点的过程中克服摩擦力做的功W。

答案

解:(1)由物块经过B点后的位移与时间的关系x=8t-4t2可知

物块过B点时的速度vB=8 m/s

从B点到D点加速度的大小为a=8 m/s2

根据牛顿第二定律,有mgsin37°+μmgcos37°=ma

解得μ=0.25

(2)设物块经过M点的速度为vM,根据牛顿第二定律,有

物块从D点运动到M点的过程中,根据机械能守恒定律,有

物块从B点运动到D点的过程中,有

解得

(3)设物块由C点到B点过程弹簧弹力做的功为W,对m1,m2由C点B点过程,根据动能定理,分别有

-μm1glCBcos37°-m1glCBsin37°+W=0

-μm2glCBcos37°- m2glCBsin37°+ W=

又W=μm2gcos37°(lCB+lBD)

解得W=0.795 J

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