问题
解答题
对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和。
答案
(1) 证明略(2) f(x)=0的四根之和为8
设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0),
∵
=a, ∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，
又f(a+x)=f(a－x),
∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,
∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上，
故y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，
若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，
若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根，
∴x0+(4－x0)+ x1+(4－x1)=8
即f(x)=0的四根之和为8.