问题
填空题
设曲线y=（x-2）2（0＜x＜2）上动点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为______．
答案
设切点P（x0，y0），（0＜x0＜2）．
∵y′=2（x-2），∴切线的斜率为2（x0-2）．
切线方程为y-(x0-2)2=2(x0-2)(x-x0)．
令y=0，解得x=
．∴A(x0+2 2
，0)．x0+2 2
令x=0，解得y=4-
．∴B(0，4-x 20
)．x 20
∴S△AOB=
|AO||OB|=1 2
×1 2
×|4-|x0+2| 2
|=x 20
(-1 4
-2x 30
+4x0+8)．x 20
令f(x0)=-
-2x 30
+4x0+8，则f′(x0)=-3x 20
-4x0+4=-（3x0-2）（x0+2）．x 20
令f′（x0）=0，又0＜x0＜2，解得x0=
．列表如下：2 3
由表格可得到：当x=
时，f（x0）取得极大值，也即最大值．2 3
此时，S△AOB取得最大值，
[-(1 4
)3-2(2 3
)2+4×(2 3
)+8]=2 3
．64 27
故答案为
．64 27