（1）由于此时y12+y22=

1

4

x12+x22，

又因为是在x12+x22=1的条件下，有y12+y22=

1

4

x12+x22=

1

4

+

3

4

x22≤1（x₂=±1时取最大值），

所以此时有||f||=1；…（4分）

（2）由f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂）=λ（x₁，x₂），可得：

x1+x2=λx1 x1-x2=λx2

，

解此方程组可得：（λ-1）（λ+1）=1，从而λ=±

2

．

当λ=

2

时，解方程组

x1+x2= 2 x1 x1-x2= 2 x2

，此时这两个方程是同一个方程，

所以此时方程有无穷多个解，为

x

=m(

2

+1，1)（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．

当λ=-

2

时，同理可得，相应的

x

=m(1-

2

，1)（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．…（9分）

（3）解方程组

a1x1+a2x2=λx1 b1x1+b2x2=λx2

，可得x₁（a₁-λ，b₁）+x₂（a₂，-b₁-λ）=0

从而向量（a₁-λ，b₁）与（a₂，-b₁-λ）平行，

从而有a₁，a₂，b₁，b₂应满足：(a1-b2)2+4a2b1=0．

当f（

λ

）=λ

x

时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具体证明为：

由f的定义可知：f（x₁，x₂）=λ（x₁，x₂），所以λ为特征值．

此时a₁=λ，a₂=0，b₁=0，b₂=λ满足：(a1-b2)2+4a2b1=0，所以有唯一的特征值．

在x12+x22=1的条件下(λx1)2+(λx2)2=λ²，从而有||f||=|λ|．…（14分）