由电路图可知，电阻R₀与可变电阻R串联，电压表测R₀两端的电压；

A、可变电阻器的阻值为R时，根据欧姆定律可得电路中的电流I=

U0

R0

，

可变电阻的阻值为

1

3

R时，R₀两端的电压为2U₀，则电路中的电流I′=

2U0

R0

=2I，

所以，流过可变电阻器R的电流增大为原来的2倍，故A正确；

B、可变电阻器的阻值为R时，可变电阻消耗的电功率P_R=I²R，

可变电阻的阻值为

1

3

R时，可变电阻消耗的电功率P_R′=（I′）²×

1

3

R=（2I）²×

1

3

R=

4

3

I²R=

4

3

P_R，

所以，可变电阻器R消耗的电功率增加为原来的

4

3

倍，故B不正确；

C、可变电阻器的阻值为R时，可变电阻两端的电压U_R=IR，

可变电阻的阻值为

1

3

R时，可变电阻两端的电压U_R′=I′×

1

3

R=2I×

1

3

R=

2

3

IR=

2

3

U_R，

所以，可变电阻器R两端的电压减小为原来的

2

3

，故C正确；

D、可变电阻器的阻值为R时，电源的电压U=I（R₀+R），

可变电阻的阻值为

1

3

R时，电源的电压U=I′（R₀+

1

3

R）=2I（R₀+

1

3

R），

∵电源的电压不变，

∴R=3R₀，

电源的电压U=I（R₀+R）=I（R₀+3R₀）=4IR₀=4U₀，

所以可变电阻器R的阻值减小到零时，电压表的示数为4U₀，故D不正确．

故选AC．