问题 解答题

过点M(0,1)作直线,使它被直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分,求此直线方程.

答案

直线方程为x+4y-4=0

方法一 过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点分别是和(0,8),显然不满足中点是点

M(0,1)的条件.

故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,l2分别交于A、B两点,联立方程组

                                                   ①

                                                      ②

由①解得xA=,由②解得xB=.          

∵点M平分线段AB,

∴xA+xB=2xM,即+=0.

解得k=-,故所求直线方程为x+4y-4=0.

方法二 设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点.

∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,

故可设B(t,8-2t),M(0,1)是AB的中点.

由中点坐标公式得A(-t,2t-6).

∵A点在直线l1:x-3y+10=0上,

∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.

∴B(4,0),A(-4,2),故所求直线方程为x+4y-4=0.

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