问题
问答题
设A，B为n阶矩阵，秩r(A)+r(B)＜n证明：
(Ⅰ) λ=0为A，B相同的特征值；
(Ⅱ)AX=0与BX=0的基础解系组成的向量线性相关；
(Ⅲ)A，B具有公共的特征向量．
答案
参考答案：(Ⅰ)由r(A)+r(B)＜n，知r(A)＜n，r(B)＜n，因此有|A|=|B|=0，故λ=0为A，B相同的特征值．
(Ⅱ)设r(A)=s，r(B)=t，AX=0的基础解系为α1，α2，…，αn-s，BX=0的基础解系为β1，β2，…，βn-t，由于(n-s)+(n-t)＞n，故向量组α1，α2，…，αn-s，β1，β2，…，βn-t必线性相关．
(Ⅲ)由α1，α2，…，αn-s，β1，β2，…，βn-t，线性相关，知存在不全为零的k1，kn-s，l1，…，ln-t，使k1α1+…+kn-sαn-s+l1β1+…+ln-tβn-t=0，令ξ=k1α1+…+kn-sαn-s=-l1β1-…-ln-tβn-t，则ξ≠0(否则k1，…，kn-s，l1，…，ln-t全为零)，故ξ为A，B属于特征值λ=0的公共特征向量．
解析：
[分析]： 通过判断|A|是否为零来判断0是否为A的特征值有时会比较简便；利用当向量组的秩小于向量组中向量个数时向量组线性相关这个性质，判断向量组的线性相关性有时也较简便．