问题
问答题
设f(x)在点x0处具有n阶导数，且f’(x0)=f"(x0)=…=f(n-1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0，试证：
(Ⅰ) 当n为奇数时，f(x)在点x0不取局部极值；
(Ⅱ) 当n为偶数时，f(x)在点x0取得局部极值：
①当f(n)(x0)＞0，f(x)在点x0取得极小值；
②当f(n)(x0)＜0，f(x)在点x0取得极大值．
答案
参考答案：由泰勒公式及题设知
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(Ⅰ) 当n为奇数时，因为在点x0的任一邻域内，当x＜x0，有(x-x0)n＜0，当x＞x0，有(x-x0)n＞0，而f(n)(x0)保持定号，所以差f(x)-f(x0)当x由小于x0变至大于x0时改变了正负号．即在点x0的任一邻域内有大于f(x0)的值，也有小于f(x0)的值．因此，f(x)在点x0处不可能取得极值．
(Ⅱ)当n为偶数时，恒有(x-x0)n＞0．
①若f(n)(x0)＞0，则有f(x)-f(x0)＞0，
即
f(x)＞f(x0)，
于是f(x)在点x=x0处取得极小值．
②若f(n)(x0)＜0，则有f(x)-f(x0)＜0，
即
f(x)＜f(x0)，
于是f(x)在点x=x0处取得极大值．
解析：
[分析]： 按照带有皮亚诺余项的泰勒公式可得，
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由题设知
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即
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再由n的奇偶性，f(n)(x0)≠0以及函数的极值概念，即可推出欲证的结论．