参考答案：令F(x)=xsinx，知其在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且F(0)=F(π)=0，于是由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(0，π)，使F’(ξ)=0，即sinξ+ξcosξ=0，故在(0，π)内，方程sinx+xcosx=0至少有一个根ξ.
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从而知ψ(x)单调递减，x∈(0，π)，即知方程ψ(x)=0至多有一个根，故知方程ψ(x)=0至多有一个根．
综上所述，在(0，π)内，方程sinx+xcosx=0有且仅有一个实根．
注：①ψ(x)=sinx+xcosx，可利用连续函数介值定理，证明ψ(x)在(0，π)内有零点，不过要在[*]上考察，而不能直接在[0，π]上用，这是因为ψ(0)=0．事实上
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故在[*]内，从而在(0，π)内方程ψ(x)=0至少有一个根．
②ψ’(x)=2cosx-xsimc，在(0，π)内ψ’(x)有零点，故需变形后，才有ψ’(x)≠0，x∈(0，π)．

解析：

[分析]： 关于“存在性”的证明，可构造一辅助函数，利用罗尔定理证之；关于“唯一性”的证明，要先将ψ(x)=sinx+xcosx变形为[*]，其中xsinx在(0，π)内连续且不为零，记ψ(x)=[*]+cosx，从而在(0，π)内，ψ(x)=0的根与ψ(x)=0的根是一致的，因此只需证明ψ(x)是单调的即可．