参考答案：

解析：因为[P^T(A+B)P]^T=P^T(A^T+B^T)(P^T)^T=P^T(A+B)P，所以P^T(A+B)P为实对称矩阵．
设P^T(A+B)P正定，则P^T(A+B)P为m阶可逆矩阵，即r[P^T(A+B)P]=m，由矩阵秩的性质得r[P^T(A+B)P]≤r(P)，所以r(P)≥m，显然r(P)≤m，所以r(P)=m．
设r(P)=m，对任意的X≠0，X^T[P^T(A+B)P]X=(PX)^T(A+B)(PX)，令PX=Y，显然Y≠0，因为若Y=0，由r(P)=m得X=0，矛盾，所以Y≠0，于是X^T[P^T(A+B)P]X=Y^TAY+Y^TBY。
因为A，B都是正定矩阵，所以Y^TAY＞0且Y^TBY＞0，于是X^T[P^T(A+B)P]X＞0，即P^T(A+B)P为正定矩阵．