问题
问答题
设，则k取何值时：
(Ⅰ) β可由α1，α2，α3唯一线性表示；
(Ⅱ) β不可由α1，α2，α3线性表示；
(Ⅲ) β可由α1，α2，α3线性表示，但表示法不唯一，并求出一般表达式．
答案
参考答案：
解析：向量β可由α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解．
方法一：令A=(α1，α2，α3)，
(Ⅰ) 当k≠0且k≠1时，因为|A|≠0，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有唯一解，即β可由α1，α2，α3唯一线性表示；
(Ⅱ) 当k=0时，，因为，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解，即β不可由α1，α2，α3线性表示；
(Ⅲ) 当k=1时，，因为r(A)=，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有无穷多个解，即β可由α1，α2，α3线性表示，但表示法不唯一．
因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=β的通解为
故β=(2c-1)α1+(-2c+1)α2+cα3，其中c为任意常数．
方法二：
(Ⅰ) 当k(1-k)≠0，-(k-1)2≠0，即k≠0且k≠1时，因为，所以β可由α1，α2，α3唯一线性表示；
(Ⅱ) 当k=0时，因为，所以卢不可由α1，α2，α3线性表示；
(Ⅲ) 当k=1时，
因为，所以β可由α1，α2，α3线性表示，且表示方法不唯一，其一般表示式为β=(2c-1)α1+(-2c+1)α2+cα3，其中c为任意常数．
