问题
问答题
已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的实数x，导函数f’(x)满足0＜f’(x)＜2且f’(x)≠1．常数c1为方程f(x)-x=0的实数根，常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根．
若对任意的闭区间[a，b]
R，总存在x0∈(a，b)，使等式f(b)-f(a)=(b-a)f’(x0)成立．
对任意的实数x1、x2，若满足|x1-c1|＜1，|x2-c2|＜1．求证：|f(x1)-f(x2)|＜4．
答案
参考答案：
当x1=x2时，|f(x1)-f(x2)|=0＜4，显然成立．
当x1≠x2时，不妨设x1＜x2．由定理可知，总存在x0∈(x1，x2)，使得f(x2)-f(x1)=f’(x0)(x2-x1)，所以|f(x2)-f(x1)|=f’(x0)||x2-x1|=|f’(x0)||x2-c1-x1+c1|≤|f’(x0)|(|x2-c1|+|x1-c1|)，由于0＜f’(x)＜2，|x1-c1|＜1，|x2-c1|＜1，所以|f’(x0)|(|x2-c21|+|x1-c1|)＜2(1+1)=4，故|f(x1)-f(x2)|＜4成立．