设数列{xn}满足关系(n=0，1，2，…)．证明：无论x0＞0如何取，数列{xn}

问题问答题

设数列{x_n}满足关系(n=0，1，2，…)．证明：无论x₀＞0如何取，数列{x_n}都收敛，并求其极限．

答案

参考答案：

解析：知数列有界．又
若对任取的x₀＞0，有x₁＞x₀，则由数学归纳法知，数列单调增加；若对任取的x₀＞0，有x₁＜x₀，则由数学归纳法知，数列单调减少．于是，不论x₀＞0如何取值，数列{x_n}都是单调的，从而存在．
，对递推关系式两边求极限，得