问题
问答题
设二次型
xTAx=ax21+2x22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3 矩阵A满足AB=0，其中
(Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换．
(Ⅱ)判断矩阵A和B是否合同.
答案
参考答案：AB=0知λ＝0是矩阵A的特征值且矩阵B的列向量(1，0，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．故有
于是
由矩阵A的特征多项式
得矩阵A的特征值为：6，0，-6．
由(6E-A)x=0得矩阵A属于特征值6的特征向量为(1，2，-1)T
由(-6E-A)x=0得矩阵A属于特征值一6的特征向量为(-1，1，1)T
实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有
那么令
则有xTAx=yTAy=6y21-6y23．
(Ⅱ)不合同，因为xTAx＝6y21-6y23，xTBx=(x1+x3)2=y21，它们的正负惯性指数不一样，所以不合同．