参考答案：方法一 (Ⅰ)由题设条件知
[*]
(Ⅱ)由A的特征多项式
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故A有特征值λ₁=λ₂=…=λ_n-1=0，[*]
当λ₁=λ₂=…=λ_n-1=0时，方程组(λE-A)X=0就是方程组AX=0，其同解方程组是x₁+2x₂+…+nx_n=0，解得对应的线性无关特征向量为
ξ₁=[-2，1，0，…，0]^T，
ξ₂=[-3，0，1，0，…，0]^T，
…………………………
ξ_n-1=[-n，0，…，0，1]^T．
[*]时，(λE-A)X=0，对系数矩阵作初等行变换，得
[*]
[*]
[*]
方程组的同解方程组为
[*]
得对应的特征向量为ξ_n=[1，2，…，n]^T．
从而知A有n个线性无关特征向量，A～Λ，取
[*]
则
[*]
方法二 (1)由题设条件[*]．A中第i行元素是第一行的i倍，
故有
[*]
其中α=[1，2，…，n]^T≠0．故r(A)=1．
(2)因[*]
故知A的特征值取值范围是0，[*]．
|A|=0，λ=0是A的特征值，对应的特征向量满足AX=αα^TX=0，因在0，因在方程αα^TX=0两边左乘α^T，得α^T(αα^TX)=(α^Tα)α^TX=0，得α^TX=0，显然α^TX=0，两边左乘α，得αα^TX=0，故方程组αα^TX=0与α^TX=0是同解方程组，只需解方程α^TX=0，即解方程
解得线性无关的特征向量为
ξ₁=[-2，1，0，…，0]^T，
ξ₂=[-3，0，1，0，…，0]^T，
…………………………
ξ_n-1=[-n，0，…，0，1]^T．
由此可知λ=0至少是n-1重根．
又[*]，故A有一个非零特征值[*]．
当[*]时，由
(λE-A)X=(α^TαE-αα^T)X=0，
由观察知，X=α时，有
(α^TαE-αα^T)α=(α^Tα)α-(αα^T)α
=(α^Tα)α-α(α^Tα)=0，
故α=[1，2，…，n]^T=ξ_n是对应[*]的特征向量．
A有n个线性无关的特征向量，A能相似于对角阵．(下同方法一)