问题 解答题

在边长为1的正方形ABCD中,点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA上.如果AM=BM,DP=3AP,则MN+NO+OP的最小值是______.

答案

作点M关于直线BC的对称点M′,过P作关于直线CD的对称点P′,连M′P′交BC,CD于N,O,

所以M′N=MN,OP=OP′

MN+NO+OP=NM′+ON+OP′=M′P′

此时MN+NO+OP有最小值,

由作法,得BM′=BM=

1
2
,所以AM′=3/2,

DP′=3/4,AP′=1+3/4=7/4

在直角三角形AM′P′中,M′P′2=AM′2+AP′2=

85
16

所以M′P′=

85
4

故答案为:

85
4

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