问题 问答题

已知随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,X1与X2都在区间(0,1)上服从均匀分布,X3与X4都服从参数为

的0-1分布,记Y=X1+X2+X3X4,求Y的分布函数FY(y)及概率密度fY(y).

答案

参考答案:[解答] 由题设知X1与X2的概率密度为


与X4概率分布

,记Y1=X1+X2,Y2=X3X4,因为Xi相互独立,所以Y1与Y2独立,且Y2的概率分布为


由于X1与X2的联合密度为


因此Y1=X1+X2的分布函数


当y≤0时,F1(y)=0;
当0<y≤1时,


当1


当2<y时,F1(y)=1.
综上得,


因此Y1=X1+X2的概率密度


由于Y=Y1+Y2,Y1与Y2独立,Y2为离散型随机变量,因而应用全概公式可求得y的分布函数FY(y),进而求得概率密度是fY(y).



[说明] ①我们可以用卷积公式求得Y1=X1+X2的概率密度f1(y).事实上


故当y≤0或y≥2时f1(y)=0;当0<y<1时,

;当1≤y<2时,


②如果将题目中的X1与X2改为:都服从标准正态分布N(0,1),那么Y=X1+X2+X3X4的分布函数FY(y)与概率密度FY(y)各为多少
由题设知Y1=X1+X2~N(0,2),


Y1与Y2相互独立,故Y=Y1+Y2的分布函数
FY(y)=P{Y1+Y2≤y}=P{Y1+Y2≤y,Y2=0)+P{Y1+Y2≤y,Y1=1}


概率密度

选择题
问答题 案例分析题

阅读下列材料:

17世纪英国在光荣革命后走上了宪政制度,国王的力量已经很有限了,并且在法律的牢笼中变得温顺;国家在众多人手中运行,随着经济的增长,个 * * 力永远不能再左右国家了。阅读下列材料:

材料一

1689年,威廉接受了阐明国会至高无上的《权利法案》。这一法案规定:国王不能中止法律;除非经国会同意,不得提高税收或保持军队;若没有法律手续,不可逮捕和拘留臣民。

——斯塔夫里阿诺斯《全球通史》

材料二

本国法律和法令的确认:鉴于英国法律是英国人民与生俱来的权利,因此,凡得登上英国王位的国王和女王,都应依照英国法律的规定管理政务,他们所属官吏和大臣也都应按照同样的法律为国王效力。

——《英国王位继承法》(1701)

材料三

(18世纪英国)国王是议会的一部分,所以也是他适当享有立法权的理由。……1760年乔治三世的即位,他把乔治一世时起几乎一直在执政的辉格党人赶下台,开创了一直延续到1830年的托利党人独霸的局面。……革命民主主义者潘恩的批评最为深刻,他说“尽管我们十分聪明,曾经对专制君主政体关门下锁,但同时我们也十分愚蠢,曾让国王掌握了钥匙。”

——阎照祥《英国虚君制的逐步形成》

据材料三,概括18世纪英国国王拥有的权力。结合所学知识,19世纪上半期英国人针对这一状况是如何推进其民主进程的?