问题
解答题
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响。 据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径； （2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其它费用忽略不计），此项费用由生产商承担。如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给生产商2万元。如果汽车A、B长期按（1）所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大。 （注：毛利润=（销售商支付给生产商的费用）—（一次性费用）） |
答案
（1）A选路1，B选路2； （2）B的利润大
题目分析：（I）求出频率分布表，计算汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率；汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率，即可得到结论；
（II）分别确定汽车A、B为生产商获得毛利润的概率分布列，求出期望，比较期望值，即可得到结论
解：（I）频率分布表，如下：
| 所用的时间（天数） | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 通过公路1的频数 | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.2 |
| 通过公路2的频数 | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |
∵P（A1）=0.2+0.4=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∴汽车A选择公路1，
∵P（B1）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽车A选择公路2；
（II）设X表示汽车A选择公路1，销售商支付给生产商的费用，则X=42，40，38，36
X的分布列如下：
| X | 42 | 40 | 38 | 36 |
| P | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.2 |
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2-3.2=36.0（万元）
设Y为汽车B选择公路2时的毛利润，则Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下
| Y | 42.4 | 40.4 | 38.4 | 36.4 |
| P | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |
∵36.0＜39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查比较两个变量的期望值，得到最优思路，是一个利用概率知识解决实际问题的题目，是一个综合题目