问题
问答题
设A是4阶非零矩阵，α1，α2，α3，α4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解
(Ⅰ)如果α1，α2，α3线性相关，证明α1-α2，α1-α3也线性相关；
(Ⅱ)如果α1，α2，α3，α4线性无关，证明α1-α2，α1-α3，α1-α4是齐次方程组Ax=0的基础解系．
答案
参考答案：[证] (Ⅰ)因为α1，α2，α3线性相关，故有不全为0的k1，k2，k3使得k1α1+k2α2+k3α3=0，那么(k1+k2+k3)α1-k2(α1-α2)+k3(α1-α3)．
因为α1-α2，α1-α3是齐次方程组Ax=0的解，而α。是非齐次方程组Ax=b的解，所以α1不能由α1-α2，α1-α3线性表出，故必有k1+k2+k3=0．
从而k2(α1-α2)+k3(α1-α3)=0．此时必有k2，k3不全为0(否则k1，k2，k3全为0)，即α1-α2，α1-α3线性相关．
(Ⅱ)由方程组的性质知α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的解．
当k1(α1-α2)+k2(α1-α3)+k3(α1-α4)=0时
即(k1+k2+k3)α1-k1α2-k2α3-k3α4=0
因为α1，α2，α3，α4线性无关，故
即必有k1-k2-k3=0．从而α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的3个线性无关的解．
那么n-r(A)≥3即r(A)≤1，又A≠0有r(A)≥1，从而r(A)=1．
因此α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的基础解系．