问题
解答题
已知函数f(x)=2sinx•sin(
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若f(
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答案
（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx-2sin2x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=
sin(2x+2
)．…（3分）π 4
故函数f（x）的最小正周期T=
=π．…（5分）2π 2
令2kπ-
≤2x+π 2
≤2kπ+π 4
（k∈Z），…（6分） π 2
可得 2kπ-
≤2x≤2kπ+3π 4
，π 4
即 kπ-
≤x≤kπ+3π 8
，k∈z，π 8
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
， kπ+3π 8
]（k∈Z）．…（8分）π 8
（Ⅱ）解法一：由已知得f(
)=sinx0+cosx0=x0 2
，…（9分） 2 3
两边平方，可得 1+sin2x0=
，2 9
所以，sin2x0=-
． …（11分） 7 9
因为x0∈(-
，π 4
)，所以2x0∈(-π 4
，π 2
)，π 2
所以，cos2x0=
=1-(-
)27 9
．…（13分）4 2 9
解法二：因为x0∈(-
，π 4
)，π 4
所以x0+
∈(0，π 4
)．…（9分）π 2
又因为f(
)=x0 2
sin(2•2
+x0 2
)=π 4
sin(x0+2
)=π 4
，2 3
解得 sin(x0+
)=π 4
．…（10分）1 3
所以，cos(x0+
)=π 4
=1-(
)21 3
．…（11分）2 2 3
所以，cos2x0=sin(2x0+
)=sin[2(x0+π 2
)]=2sin(x0+π 4
)cos(x0+π 4
)π 4
=2•
•1 3
=2 2 3
．…（13分）4 2 9