问题 填空题

定义在R上的函数f(x)满足f(m+n2)=f(m)+2[f(n)]2,m,n∈R,且f(1)≠0,则f(2 014)=________.

答案

1 007

令m=n=0,得f(0+02)=f(0)+2[f(0)]2,所以f(0)=0;令m=0,n=1,

得f(0+12)=f(0)+2[f(1)]2

由于f(1)≠0,所以f(1)=;令m=x,n=1,得f(x+12)=f(x)+2[f(1)]2

所以f(x+1)=f(x)+2×2

即f(x+1)=f(x)+

这说明数列{f(x)}(x∈Z)是首项为,公差为的等差数列,所以f(2 014)=+(2 014-1)×=1 007.

单项选择题
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