由方程x²+4ax+3a+1=0（a为大于1的常数）的两根为tanα，tanβ，

得到tanα+tanβ=-4a＜0，tanαtanβ=3a+1＞，

则tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-4a

1-(3a+1)

=

4

3

＞0，tanα＜0，tanβ＜0，

又因为α、β∈（-

π

2

，

π

2

），得到α+β∈（-π，π），

所以α+β∈（-π，-

π

2

），则

α+β

2

∈（-

π

2

，-

π

4

），

而tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

，

所以

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

4

3

，即（2tan

α+β

2

-1）（tan

α+β

2

+2）=0，

解得tan

α+β

2

=

1

2

（不合题意，舍去），tan

α+β

2

=-2，

故答案为：-2