问题
解答题
已知函数f（x）=2cosxsin（x+
（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的单调增区间； （3）当x∈[0，
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答案
f（x）=2cosxsin（x+
）-π 3
（sinx）2+sinxcosx=2cosx（sin3
+x 2
cos3
）-x 2 3
+1-cos2x 2
sin2x1 2
=sinxcosx+3
-1-cosx 2
+3 2 3
+cos2x 2 sin2x 2
=sin2x+
cos2x3
=2sin（2x+
）π 3
（1）因为T=
=2π |ω|
=π，所以函数的最小正周期是π．2π 2
（2）y=sinx的单调增区间是[2kπ-
，2kπ+π 2
]k∈Z，则函数f（x）=2cosxsin（x+π 2
）-π 3
sin2x+sinxcosx3
即：2sin（2x+
）的单增区间：2x+π 3
∈[2kπ-π 3
，2kπ+π 2
]π 2
解得x∈[kπ-
，kπ+5π 12
]（k∈Z）π 12
（3）x∈[0，
]，则2x+π 4
∈[π 3
，π 3
]，所以2sin（2x+5π 6
）∈[π 3
，1]1 2
所以函数的值域为：[
，1]．1 2