问题
解答题
已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l。
（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（2）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。
答案
解：（1）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），
所以AB所在直线的方程为y=x
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
由
得
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以
即
。
（2）设AB所在直线的方程为y=x+m
由
得
因为A，B在椭圆上，
所以
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
则
所以
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，
即
所以
所以当m=-1时，AC边最长（这时
）
此时AB所在直线的方程为y=x-1。