问题
问答题
设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有
．
(Ⅰ) 求f(1)及
；
(Ⅱ) 求f’(1)，若又设f"(1)存在，求f"(1)；
(Ⅲ) x=1是否是f(x)的极值点若是，是极大值点还是极小值点
答案
参考答案：(Ⅰ) 由题设条件知[*]
[*]
又在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小因子替换：当x→0时，
ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，
[*]
方法1° 由f"(1)[*]f(x)在x=1的某邻域内可导
[*]
方法2°当f"(1)存在时，用二阶泰勒公式得
[*]
方法3° 由[*]及极限与无穷小的关系[*]
[*]
再由泰勒公式的唯一性得[*]，即f"(1)=-2．
(Ⅲ) 由[*]及极限的不等式性质知，[*]δ＞0，使得当0＜|x|＜δ时
[*]
[*]x=1是f(x)的极大值点．
[*]