问题
问答题
已知数列an满足a2=2(n-1)an+1-nan+1=0(n∈N*)。
(1)求数列an的通项公式an；
(2)若
，求数列bn的最大值项；
(3)对于(2)中的数列bn，是否存在bn=bm(n≠m)若存在，求出所有相等的对应两项；若不存在，说明理由。
答案
参考答案：
(1)当n=1时，a1=1，
又a1=1，可得a3=3，
猜想an=n。
证明如下：
当n=1，2时，猜想成立，
当n≥2时，递推式为(n-2)an-(n-1)an-1+1=0。
故当n=k+1时，(k-1)ak+1-kak+1=0，
即(k-1)ak+1-k2+1=0。
∵k≥2，∴k-1≠0。
又ak+1=k+1，
即当n=k+1时猜想成立，
∴当n∈N*时，有an=n。
(2)[*]，考虑当bn＞bn+1时，n的取值范围。
[*]
当n≥3时，
[*]
即n≥4时，有bn＞bn+1。
通过同次根式两两比较b1，b2，b3，b4，b5的大小，
知b1＜b2＜b3＜b4＜b5，
所以数列{bn}满足b1＜b2＜b3＜b4，b4＞b5＞b6＞…，①
故数列{bn}的最大值项为b4。
(3)显然，b1=1，
由[*]知当n≠1时，bn≠1。
再由①可知若数列{bn}存在相等两项，只能是b2，b3与后面的项可能相等。
[*]
即第2项与第8项相等。
再由①知仅有第8项与第2项相等。
[*]所以由①知与第3项相等的项不存在，
故数列{bn}中存在唯一相等的两项b2=b8。