问题
多项选择题
设上半平面上一条凹曲线(如下图所示)，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，而且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行，求此曲线方程．
答案
参考答案：记曲线为y=f(x)，由于曲线为凹弧，即y"＞0，故曲率
[*]
又因为曲线过点(x,f(x))的法线方程为
X-x+f’(x)(Y-f(x))=0．
它与x轴交点Q的横坐标为X0=x+f’(x)f(x)，所以线段PQ长度为
[*]
[*]
于是该曲线满足的微分方程为
[*]
即 [*]
方程不显含x，令p=y’，则[*]，方程化为[*]，则[*]，其解为A+pB=cyB，代入初始条件，y(A)=A，p|x=A=0得c=A．
即pB=y’B=yB-A，从而[*]，分离变量后，代入初始条件无论右端取正号，负号，其解均为[*]
解析：[考点] 利用曲率列方程，求曲线