问题
问答题
设A=(aij)n×n是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)二次型
(1)记X(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式．
(2)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由．
答案
参考答案：(1)r(A)=n，故A是可逆的实对称矩阵，于是(A-1)T=(AT)-1=A-1，即A-1是实对称矩阵，亦即[*]是实对称的，从而A*是实对称矩阵，由此即知Aij=Aji(i，j=1，2，…，n)于是有
[*]
因此，二次型f的矩阵表示为XTA-1X，其二次型矩阵为A-1．
(2)因为A，A-1都是可逆的实对称矩阵，且(A-1)TAA-1=(A-1)TE=(AT)-1=A-1，所以A与A-1合同，于是g(X)与f(X)有相同的规范形．
解析：[考点] 二次型的矩阵表示及规范形