问题 解答题
已知f(x)=sinωx(sinωx+
3
cosωx)-
1
2
,(x∈R,ω>0),若f(x)
的最小正周期为2π.
(I)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间;
(II)求f(x)在区间[-
π
6
6
]
的最大值和最小值.
答案

(1)∵f(x)=sinωx(sinωx+

3
cosωx)-
1
2

=

1-cos2ωx
2
+
3
2
sin2ωx-
1
2

=

3
2
sin2ωx-
1
2
cos2ωx

=sin(2ωx-

π
3
)…3′

又f(x)的周期为2π,2π=

⇒ω=
1
2
,…4′

∴f(x)=sin(x-

π
6
)…5′

由2kπ-

π
2
≤x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)⇒2kπ-
π
3
≤x≤2kπ+
3
(k∈Z),

即f(x)的单调递增区间为[2kπ-

π
3
,2kπ+
3
](k∈Z),…7′

(2)∵-

π
6
≤x≤
6

∴-

π
3
≤x-
π
6
3
,…8′

∴当x-

π
6
=
π
2
,即x=
3
时,f(x)max=1;

当x-

π
6
=-
π
3
,即x=-
π
6
时,f(x)min=-
3
2
,…12′

∴当x=

3
时,f(x)max=1;当x=-
π
6
时,f(x)min=-
3
2
…13

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