∵cosα=-

4

5

，α是第三象限的角，∴sinα=-

1-(- 4 5 )2

=-

3

5

，

∴tanα=

- 3 5

- 4 5

=

3

4

．

∵tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，∴

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

3

4

，化为，3tan2

α

2

+8tan

α

2

-3=0，解得tan

α

2

=

1

3

或-3．

∵α是第三象限的角，∴2kπ+π＜α＜2kπ+

3π

2

，∴kπ+

π

2

＜

α

2

＜kπ+

3π

4

（k∈Z）．

①当k=2n（n∈N^*）时，2nπ+

π

2

＜

α

2

＜2nπ+

3π

4

，可知

α

2

是第二象限的角，则tan

α

2

＜0，∴tan

α

2

=-3；

②当k=2n+1（n∈N^*）时，2nπ+

3π

2

＜

α

2

＜2nπ+

7π

4

，可知

α

2

是第四象限的角，则tan

α

2

＜0，∴tan

α

2

=-3；

因此tan

α

2

=

1

3

应舍去，故tan

α

2

=-3．

∴

1+tan α 2

1-tan α 2

=

1-3

1-(-3)

=-

1

2

．

故答案为-

1

2

．