问题
解答题
设函数f(x)=cos(2x-
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)△ABC,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且f(B)=
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答案
(Ⅰ)∵f(x)=cos(2x-
)-2sin2x=cos2xcosπ 3
+sin2xsinπ 3
-(1-cos2x)π 3
=
cos2x+1 2
sin2x+cos2x-1=3 2
(3
sin2x+1 2
cos2x)-13 2
=
sin(2x+3
)-1,π 3
∴T=
=π,2π 2
∵正弦函数的递增区间为:[2kπ-
,2kπ+π 2
],π 2
∴当2kπ-
≤2x+π 2
≤2kπ+π 3
,即kπ-π 2
≤x≤kπ+5π 12
时,函数f(x)单调递增,π 12
则函数f(x)的单调增区间为[kπ-
,kπ+5π 12
] (k∈Z);π 12
(Ⅱ)∵B∈(0,π),f(B)=
,即1 2
sin(2B+3
)-1=π 3
,1 2
∴sin(2B+
)=π 3
,3 2
∴2B+
=π 3
或2B+2π 3
=π 3
(舍去),π 3
∴B=
,即sinB=π 6
,又b=1,c=1 2
,3
由正弦定理得:sinC=
=
×1 2 3 1
,又C∈(0,π),3 2
∴C=
或π 3
,2π 3
当C=
时,由B=π 3
得到A=π 6
,即三角形为直角三角形,π 2
由b=1,c=
,根据勾股定理得:a=2;3
当C=
时,由B=2π 3
得到A=π 6
,即三角形为等腰三角形,π 6
则a=b=1,
综上,a的值为2或1.