问题 解答题
设函数f(x)=cos(2x-
π
3
)-2sin2x

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)△ABC,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且f(B)=
1
2
.b=1,c=
3
,求a的值.
答案

(Ⅰ)∵f(x)=cos(2x-

π
3
)-2sin2x=cos2xcos
π
3
+sin2xsin
π
3
-(1-cos2x)

=

1
2
cos2x+
3
2
sin2x+cos2x-1=
3
1
2
sin2x+
3
2
cos2x)-1

=

3
sin(2x+
π
3
)-1,

∴T=

2
=π,

∵正弦函数的递增区间为:[2kπ-

π
2
,2kπ+
π
2
],

∴当2kπ-

π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
,即kπ-
12
≤x≤kπ+
π
12
时,函数f(x)单调递增,

则函数f(x)的单调增区间为[kπ-

12
,kπ+
π
12
]   (k∈Z);

(Ⅱ)∵B∈(0,π),f(B)=

1
2
,即
3
sin(2B+
π
3
)-1=
1
2

∴sin(2B+

π
3
)=
3
2

2B+

π
3
=
3
或2B+
π
3
=
π
3
(舍去),

B=

π
6
,即sinB=
1
2
,又b=1,c=
3

由正弦定理得:sinC=

1
2
×
3
1
=
3
2
,又C∈(0,π),

C=

π
3
3

当C=

π
3
时,由B=
π
6
得到A=
π
2
,即三角形为直角三角形,

由b=1,c=

3
,根据勾股定理得:a=2;

当C=

3
时,由B=
π
6
得到A=
π
6
,即三角形为等腰三角形,

则a=b=1,

综上,a的值为2或1.

单项选择题
选择题