A、小明爬楼梯时，人为了克服重力对自己施加了向上的力，并在向上的方向上有通过距离，故小明做了功．

B、小明推汽车，对汽车有推力，汽车还是纹丝不动，说明在这个推力的作用下没有通过距离，故小明没有做功．

C、小明对水桶有一个向上的提力，虽然水桶有移动的距离，但是在水平方向上，在竖直方向上没有移动的距离，故没有做功．

D、铅球在空中飞行过程中，小明对铅球没有力的作用，在空中飞行的距离是由于惯性，所以小明没做功．

故选A．