问题
问答题
设0＜a＜6，g(x)在[a，a+b]上连续，在(a，a+b)内可导，且f(a)=b，f(b)=a，f(a+b)=a+b，证明存在一点ξ∈(a，a+b)使得f＇(ξ)+g＇(ξ)[f(ξ)-ξ|=1．
答案
参考答案：[分析与证明] 把要证的等式变形成
[f＇(ξ)-1]+g＇(ξ)[f(ξ)-ξ]=0，ξ∈(a，a+b)．
即要证在(a，a+b)内[f＇(x)-1]+g＇(x)[f(x)-x]存在零点．
[*][f(x)-x]+g＇(x)[f(x)-x]在(a，a+b)存在零点．
[*]μ(x)[(f(x)-x)＇+g＇(x)(f(x)-x)]在(a，a+b)存在零点．
其中[*]
[*] (eg(x) (f(x)-x))＇在(a，a+b)存在零点．
证明：令F(x)=[f(x)-x]eg(x)．
F(x)在[a，a+b]内连续，在(a，a+b)内可导．
F(a)=[f(a)-a]eg(a)=(b-a)eg(a)＞0，
F(b)=f(b)-b]eg(b)=(a-b)eg(b)＜0．
由连续函数中值定理，存在x0∈(a，b)，使F(x0)=0．
又F(a+b)=[f(a+b)-(a+b)]eg(a+b)=0，所以F(x)在[x0，a+b内满足罗尔定理条件，所以至少存在ξ∈(x0，a+b)[*](a，a+b)内，使得F＇(ξ)=0，即
F＇(ξ)+g＇(ξ)[F(ξ)-ξ]=1．