问题
问答题
求函数z=x2+12xy+2y2在区域：4x2+y2≤．25上的最大值．
答案
参考答案：[分析与求解] 根据连续函数在有界闭区域上的性质知，z(x，y)在该区域存在最大值．
(1)先求区域内部：4x2+y2＜25函数z(x，y)的驻点，解方程组
[*]
得唯一驻点(0，0)且
z(0，0)=0．
(2)求z(x，y)在边界4x2+y2=25上的最大值．这相当于求条件最值问题．求z=x2+12xy+2y2在条件4x2+y2-25=0下的最大值．
令F(x，y，λ)=x2+12xy+2y2+λ(4x2+y2-25)并解方程组
[*]
由①，②得
[*]
它有非零解得
[*]
即
4λ2+9λ-34=0
解得
[*]
由λ=2得[*]，代入③得驻点
p1(2，-3)，P2(-2，3)
由[*]得[*]，代入③得驻点
[*]
相应的函数值
z(P1)=z(P2)=-50．
[*]
于是函数在边界(4x2+y2=25)的最大值为[*]，最小值为-50．
(3)比较知，函数在该区域上的最大值为[*]．